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技術(shù)專題
PCB設(shè)計(jì)描述線性和非線性電路中的諧波運(yùn)動(dòng)
回到基本的力學(xué)或物理課程，有一個(gè)特定的示例總是用來(lái)引入振蕩：諧波運(yùn)動(dòng)。這種基本的周期性運(yùn)動(dòng)描述了最基本的振蕩類型，其中系統(tǒng)以正弦軌跡運(yùn)動(dòng)。盡管這是許多其他現(xiàn)象的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的基本主題，但電路和機(jī)械中的實(shí)際振蕩并不總是遵循純諧波運(yùn)動(dòng)。取而代之的是，振蕩可能是由復(fù)雜的頻率混合引起的，從而導(dǎo)致周期性行為，而不僅僅是正弦波。
PCB設(shè)計(jì)中當(dāng)您分析具有非線性成分的復(fù)雜電路時(shí)，即使系統(tǒng)由純諧波源驅(qū)動(dòng)，您也可能會(huì)注意到一系列復(fù)雜的振蕩行為。是什么原因?qū)е逻@種行為，以及它如何影響電氣行為？如果您的系統(tǒng)中具有非線性組件，則需要使用一些基本模擬來(lái)了解不同的頻率將如何引起與諧波運(yùn)動(dòng)甚至混沌振蕩的偏差。閱讀更多內(nèi)容以了解這些非諧波振蕩會(huì)在何處發(fā)生以及如何在不同類型的系統(tǒng)中產(chǎn)生。
為了更好地理解為什么系統(tǒng)可能表現(xiàn)出不穩(wěn)定的行為，我們需要簡(jiǎn)要回顧一下簡(jiǎn)單的諧波運(yùn)動(dòng)是如何產(chǎn)生的。一旦我們看到了非線性在這些系統(tǒng)中發(fā)生的位置，就變得更加清楚如何無(wú)法通過(guò)插入正弦解簡(jiǎn)單地解決非線性系統(tǒng)。
首先，我們有一個(gè)線性振蕩器的基本公式，如下所示。量u（t）可以是系統(tǒng)中的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，電壓，電流或其他一些相關(guān)量。f（t）項(xiàng)是強(qiáng)迫函數(shù)，可以是時(shí)間的任何連續(xù)或分段函數(shù)。對(duì)于電氣系統(tǒng)，這是您用來(lái)描述RLC電路或以線性方式運(yùn)行的非線性電路中的振蕩的方程式。
線性電路中的電壓，電流或功率受時(shí)間相關(guān)的強(qiáng)制功能驅(qū)動(dòng)。
當(dāng)f（t）= ?? = 0時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)時(shí)，我們沒(méi)有阻尼和簡(jiǎn)單的諧波運(yùn)動(dòng)。換句話說(shuō)，當(dāng)不強(qiáng)制系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)將以其固有頻率振蕩。只要f（t）是正弦波源，我們?nèi)匀粫?huì)使u（t）是正弦波。
在??為非零的情況下，兩種情況下都仍然存在振蕩，這取決于系統(tǒng)是否被移位和釋放（瞬態(tài)響應(yīng)，請(qǐng)參見(jiàn)下圖），或者系統(tǒng)是否由任意源驅(qū)動(dòng)。
置換和釋放：以RLC電路為例，這將在系統(tǒng)最初在電容器上帶一些電荷且發(fā)生短路時(shí)應(yīng)用；根據(jù)庫(kù)侖定律，電荷將具有一些靜電勢(shì)能，從而使電容器放電。放電電容器將驅(qū)動(dòng)RLC電路中的阻尼振蕩。
由時(shí)變?cè)打?qū)動(dòng)：對(duì)于諧波源，系統(tǒng)也將是正弦波，并且在系統(tǒng)欠阻尼時(shí)可能會(huì)進(jìn)入諧振狀態(tài)。對(duì)于非周期性源，隨著系統(tǒng)過(guò)渡到新的平衡，系統(tǒng)將顯示阻尼的瞬態(tài)振蕩。
方波驅(qū)動(dòng)源的示例瞬態(tài)響應(yīng)。
非線性振蕩器和穩(wěn)定性
即使是真正的擺錘也是非線性系統(tǒng)，因?yàn)槠鋭?shì)能是其位置的非線性函數(shù)。在電子產(chǎn)品中，有時(shí)系統(tǒng)中的組件也是非線性的，這會(huì)導(dǎo)致非諧行為。當(dāng)我們?cè)陔娮咏M件的上下文中提到“勢(shì)能”時(shí)，我們是在指電壓和電流在數(shù)學(xué)上如何相關(guān)。如果組件中的電流是組件兩端電壓降的非線性函數(shù)，則可能會(huì)出現(xiàn)非線性行為。
在數(shù)學(xué)上，檢查非線性分量對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響的最簡(jiǎn)單方法是將系統(tǒng)的二階微分方程轉(zhuǎn)換為耦合的一階微分方程系統(tǒng)。從這里，您可以輕松確定系統(tǒng)的特征值。這給出了如下所示的公式：
轉(zhuǎn)換后的一階系統(tǒng)。
取方程的右側(cè)并計(jì)算行列式，可以得出系統(tǒng)的特征方程：
計(jì)算一階系統(tǒng)的特征值以進(jìn)行穩(wěn)定性分析
通過(guò)查看特征值，您可以判斷系統(tǒng)是進(jìn)入極限循環(huán)（穩(wěn)定振蕩），崩潰到穩(wěn)定的平衡點(diǎn)還是發(fā)散而變得不穩(wěn)定。在穩(wěn)定振蕩的情況下，系統(tǒng)將具有周期性運(yùn)動(dòng)，但可能不是正弦曲線。此過(guò)程是穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)，它在電子領(lǐng)域以外的許多工程領(lǐng)域中都使用。
檢查非線性電路穩(wěn)定性的另一種方法是使用瞬態(tài)分析仿真，該仿真直接適用于非線性電路和系統(tǒng)。這向您顯示了時(shí)域中的行為，并且您可以確切地看到系統(tǒng)將如何從指定的初始條件演變而來(lái)。任何帶有SPICE模擬器的PCB設(shè)計(jì)程序都將允許您執(zhí)行這種類型的分析。